【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;
(2)從圓C外一點P(x1 , y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點P的坐標.
【答案】解:(1)∵切線在兩坐標軸上的截距相等,
∴當截距不為零時,設(shè)切線方程為x+y=a,
又∵圓C:(x+1)2+(y﹣2)2=2,
∴圓心C(﹣1,2)到切線的距離等于圓的半徑,
即,
解得:a=﹣1或a=3,
當截距為零時,設(shè)y=kx,
同理可得k=2+或k=2-
,
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y﹣3=0或y=(2+)或y=(2-
).
(2)∵切線PM與半徑CM垂直,
∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2 .
∴(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12 .
∴2x1﹣4y1+3=0.
∴動點P的軌跡是直線2x﹣4y+3=0.
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為原點O到直線2x﹣4y+3=0的距離d=,
∴由,可得
故所求點P的坐標為P(-,
).
【解析】(1)當截距不為0時,根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等,設(shè)出切線方程x+y=a,然后利用點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d,讓d等于圓的半徑r,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,得到切線的方程;當截距為0時,設(shè)出切線方程為y=kx,同理列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,得到切線的方程;
(2)根據(jù)圓切線垂直于過切點的半徑,得到三角形CPM為直角三角形,根據(jù)勾股定理表示出點P的軌跡方程,由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值,然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離,把P代入動點的軌跡方程,兩者聯(lián)立即可此時P的坐標.
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞增的是( 。
A.f(x)=
B.f(x)=+1
C.f(x)=
D.f(x)=
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【題目】求滿足下列條件的直線的方程:
(1)經(jīng)過兩條直線2x﹣3y+10=0和3x+4y﹣2=0的交點,且垂直于直線3x﹣2y+4=0;
(2)經(jīng)過兩條直線2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交點,且平行于直線4x﹣3y﹣7=0.
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【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為
,直線
與拋物線
交于
兩點,過這兩點分別作拋物線
的切線,且這兩條切線相交于點
.
(1)若的坐標為
,求
的值;
(2)設(shè)線段的中點為
,點
的坐標為
,過
的直線
與線段
為直徑的圓相切,切點為
,且直線
與拋物線
交于
兩點,證明:
.
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【題目】如圖,已知直線關(guān)于直線
對稱的直線為
,直線
與橢圓
分別交于點
、
和
、
,記直線
的斜率為
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當變化時,試問直線
是否恒過定點? 若恒過定點,求出該定點坐標;若不恒過定點,請說明理由.
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【題目】已知,坐標平面上一點P滿足:
的周長為6,記點P的軌跡為
.拋物線
以
為焦點,頂點為坐標原點O.
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)若過的直線
與拋物線
交于
兩點,問在
上且在直線
外是否存在一點
,使直線
的斜率依次成等差數(shù)列,若存在,請求出點
的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x>0時,函數(shù)f(x)的解析式為 .
(1)求當x<0時函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(0,+∞)上的是減函數(shù).
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【題目】某理財公司有兩種理財產(chǎn)品和
.這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下(每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立):
產(chǎn)品
產(chǎn)品(其中
)
(Ⅰ)已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品和產(chǎn)品
進行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于
,求
的取值范圍;
(Ⅱ)丙要將家中閑置的10萬元錢進行投資,以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù),在產(chǎn)品和產(chǎn)品
之中選其一,應(yīng)選用哪個?
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