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        1. 已知函數(shù)f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx(x>0),
          (Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)的圖象在x=1處的切線l在兩坐標軸上的截距相等,求a的值;
          (Ⅱ)若f(x)在[1,+∞]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
          (Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1,x2總有以下不等式
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)≥f(
          x1+x2
          2
          )成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試證當a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.
          分析:(Ⅰ)求導函數(shù),確定斜率,求出切點坐標,可得切線l的方程,利用切線l在兩坐標軸上的截距相等,即可求得結論;
          (Ⅱ)求導函數(shù),利用函數(shù)為[1,+∞)上單調(diào)增函數(shù),則f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥
          2
          x
          -2x2
          在[1,+∞)上恒成立,求出右邊對應函數(shù)的最大值,即可求得結論;            
          (Ⅲ)由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx,得
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)=
          1
          2
          (x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )
          +
          x1+x2
          x1x2
          +aln
          x1x2
          ,f(
          x1+x2
          2
          )=(
          x1+x2
          2
          )2
          +
          4
          x1+x2
          +aln
          x1+x2
          2
          ,利用基本不等式即可得到結論.
          解答:(Ⅰ)解:∵f′(x)=2x-
          2
          x2
          +
          a
          x
          (x>0)

          ∴f′(1)=2-2+a=a
          ∵f(1)=3
          ∴切線l的方程為y-3=a(x-1),即y=ax-a+3.
          ∵切線l在兩坐標軸上的截距相等,
          故①當直線l過原點時,-a+3=0,∴a=3;
          ②當直線l不過原點時,a=-1
          所以a=3或-1.                                                        
          (Ⅱ)解:由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx,得f′(x)=2x-
          2
          x2
          +
          a
          x
          (x>0)

          若函數(shù)為[1,+∞)上單調(diào)增函數(shù),則f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
          即不等式2x-
          2
          x2
          +
          a
          x
          ≥0
          在[1,+∞)上恒成立.也即a≥
          2
          x
          -2x2
          在[1,+∞)上恒成立  
          g(x)=
          2
          x
          -2x2
          ,上述問題等價于a≥g(x)max
          g(x)=
          2
          x
          -2x2
          為在[1,+∞)上的減函數(shù),則g(x)max=g(1)=0,
          于是a≥0為所求                                                           
          (Ⅲ)證明:由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx,得
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)=
          1
          2
          (x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )
          +
          x1+x2
          x1x2
          +aln
          x1x2

          f(
          x1+x2
          2
          )=(
          x1+x2
          2
          )2
          +
          4
          x1+x2
          +aln
          x1+x2
          2

          1
          2
          (x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )≥(
          x1+x2
          2
          )2
           ①
          (x1+x2)2=
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          +2x1x2≥4x1x2
          ,∴
          x1+x2
          x1x2
          4
          x1+x2
            ②
          x1x2
          x1+x2
          2
          ,∴l(xiāng)n
          x1x2
          ≤ln
          x1+x2
          2
          ,
          ∵a≤0,∴aln
          x1x2
          ≥aln
          x1+x2
          2
          ,③
          由①、②、③得
          1
          2
          (x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )
          +
          x1+x2
          x1x2
          +aln
          x1x2
          (
          x1+x2
          2
          )2
          +
          4
          x1+x2
          +aln
          x1+x2
          2

          1
          2
          [f(x1)+f(x2)≥f(
          x1+x2
          2
          ),從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)
          點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,考查新定義,正確理解新定義是關鍵.
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
          (3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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