Question

（1）原點(diǎn)O及直線為曲線C的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線；
（2）被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長恰好為。
若存在，求出曲線C的方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線C，此曲線離心率為（>0），P（x，y）是曲線C上任一點(diǎn)。
由圓錐曲線的定義有
化簡整理得，               ①
設(shè)曲線C被直線垂直平分，其弦長為的弦所在直線方程為,這弦的兩個(gè)端點(diǎn)
將代入①式中，消去y得
                      ②
由題意0，

由此可解得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為

由條件（2），中點(diǎn)D在，于是有：

解③，代入④得。
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，因此符合條件的曲線C存在，其方程為。

這是一道開放性的題目，探求滿足上述兩個(gè)條件的圓錐曲線是否存在，本題的難點(diǎn)是題目沒有具體的給出圓錐曲線的形狀，由條件（1）給出焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線，因此可考慮用圓錐曲線統(tǒng)一定義，設(shè)離心率為，通過計(jì)算，推理，探求的存在性。