Question

過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線(xiàn)l分別交x，y正半軸于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）當(dāng)|PA|•|PB|取最小值時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求的直線(xiàn)方程，點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程后使用基本不等式，可求面積的最小值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，
注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件．

解答：解：（1）設(shè)所求的直線(xiàn)方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由已知

2

a

+

1

b

=1．
于是

2

a

•

1

b

≤(

2 a + 1 b

2

)2=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

1

b

=

1

2

，即a=4，b=2時(shí)，取最大值，
即S△AOB=

1

2

•ab取最小值4．
故所求的直線(xiàn)l的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y-1=k（x-2），分別令y=0，x=0，得A(2-

1

k

，0)，B(0，1-2k)．
則|PA|•|PB|=

(4+4k2)(1+ 1 k2 )

=

8+4(k2+ 1 k2 )

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1，即k=±1時(shí)，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，這時(shí)l的方程為x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程的幾種形式的應(yīng)用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否具備，屬于基礎(chǔ)題．