Question

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記a_ij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a₄₃=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=

3 x

3n

（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為b_n，
數(shù)列{f（b_n）}的前n項和為T_n，求證Tn＜

2009

2010

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，得用等到差數(shù)列求和公式直接計算即可．
（Ⅱ）由2009=2×1005-1，知2009是正奇數(shù)列的第1005個數(shù)．設(shè)2009這個數(shù)位于第m行，前m-1行共有1+2+3+…+m-1=

m(m-1)

2

個數(shù)，所以

m(m-1)

2

＜1005≤

m(m+1)

2

，由此能求出2009這個數(shù)位于第幾行第幾列．
（Ⅲ）第n行的第一個數(shù)為2•

n(n-1)

2

+1=n2-n+1，第n行各數(shù)形成以n²-n+1為首項，2為公差的等差數(shù)列
故bn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3．所以Tn=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，再由錯位相減法能夠證明Tn＜

2009

2010

．

解答：解：（Ⅰ）S=1+3+5+…+29=

15(1+29)

2

=225…（3分）
（Ⅱ）∵2009=2×1005-1，
∴2009是正奇數(shù)列的第1005個數(shù)．…（5分）
設(shè)2009這個數(shù)位于第m行，前m-1行共有1+2+3+…+m-1=

m(m-1)

2

個數(shù)，…（7分）
則

m(m-1)

2

＜1005≤

m(m+1)

2

，
又m∈N₊，∴m=45…（8分）
故前44行共有990個數(shù)，
第45行的第1個數(shù)是2×991-1=1981…（9分）
2009=1981+2（n-1），∴n=15
故2009位于第45行第15列．…（10分）
（Ⅲ）證明：第n行的第一個數(shù)為2•

n(n-1)

2

+1=n2-n+1，
第n行各數(shù)形成以n²-n+1為首項，2為公差的等差數(shù)列
故bn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3…（12分）
∴f(bn)=

n

3n

Tn=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

…（1）

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

…（2）
（1）-（2）整理得：Tn=

3

4

-

2n+3

4•3n

＜

3

4

＜

2009

2010

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．