Question

設點P在曲線y=x²+2上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：曲線的圖象在第一象限，要使曲線y=x²+2上的點與曲線上的點取得最小值，點P應在曲線y=x²+2的第一象限內的圖象上，分析可知y=x²+2（x≥0）與互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以，求出上點Q到直線y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．
解答：解：由y=x²+2，得：x²=y-2，．
所以，y=x²+2（x≥0）與互為反函數．
它們的圖象關于y=x對稱．
P在曲線y=x²+2上，點Q在曲線上，
設P（x，x²），Q（）
要使|PQ|的距離最小，則P應在y=x²+2（x≥0）上，
又P，Q的距離為P或Q中一個點到y(tǒng)=x的最短距離的兩倍．
以Q點為例，Q點到直線y=x的最短距離
d===．
所以．
則|PQ|的最小值等于．
故答案為．
點評：本題考查了反函數，考查了互為反函數圖象之間的關系，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是把求兩曲線上點的最小距離問題，轉化為求一支曲線上的動點到定直線的最小距離問題，此題是中檔題．