Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

   （1）求的單調(diào)區(qū)間，若有最值，請(qǐng)求出最值；

   （2）是否存在正常數(shù)，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）故存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為

【解析】解：（1）……61分

    ①當(dāng)恒成立

   上是增函數(shù)，F只有一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間（0，-∞），沒(méi)有最值…3分

    ②當(dāng)時(shí)，，

    若，則上單調(diào)遞減；

    若，則上單調(diào)遞增，

    時(shí)，有極小值，也是最小值，

    即…………6分

    所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為

    單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值…………7分

   （2）方法一，若與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

    則方程有且只有一解，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)…………8分

    由（1）的結(jié)論可知…………10分

    此時(shí)，

   

    的圖象的唯一公共點(diǎn)坐標(biāo)為

    又

    的圖象在點(diǎn)處有共同的切線，

    其方程為，即…………13分

    綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的公切線方程為…………14分

    方法二：設(shè)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，

    根據(jù)題意得

高考資源網(wǎng)高考高·考￥資%源~網(wǎng)資源網(wǎng)

    即

    由②得，代入①得

    從而…………10分

    此時(shí)由（1）可知

    時(shí)，

    因此除外，再?zèng)]有其它，使…………13分

    故存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為…………14分