Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求△面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的焦點(diǎn)、離心率的定義列出方程，解出基本量a和b，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，利用點(diǎn)斜式先設(shè)出直線的方程，令直線與橢圓方程聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理得到，，列出和的面積，從而得到的面積表達(dá)式，將，代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要討論最大值成立的條件.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯(lián)立方程組
消去并整理得． （*）
設(shè)，．
故，．
不妨設(shè)，顯然均小于．
則，
．
 
．
等號成立時(shí)，可得，此時(shí)方程（*）為 ，滿足．
所以面積的最大值為．                       13分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、均值定理.