Question

已知函數(shù)f(x)=x+log2

x

3-x

(x∈(0，3))
（Ⅰ）求f（x）+f（3-x）；并判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否為一中心對(duì)稱圖形；
（Ⅱ）記S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)，求S（n）；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，試探究S（n）與S的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x及3-x分別代入已知函數(shù)即可求解f（x）+f（3-x）的值
（2）由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，結(jié)合此規(guī)律，可考慮利用倒序相加可求和
（3）由f(x)=x+log2(

3

3-x

-1)為增函數(shù)，結(jié)合（1）知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

3

2

，

3

2

)對(duì)稱，記點(diǎn)A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=

3

2

，而S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，可判斷

解答：解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）

=(x+log2 3 3-x )+[(3-x)+log2 3-x x ] =3+log2( x 3-x • 3-x x ) =3

（2）S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)=

1

2n

[f(1+

1

2n

)+f(1+

2

2n

)+…+f(1+

2n-1

2n

)]①
S(n)=

1

2n

[f(1+

2n-1

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)+…+f(1+

1

2n

)]②
由（Ⅰ）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3…
①+②得：2S(n)=

1

2n

[3•(2n-1)]=3•(1-

1

2n

)，
∴S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)
（3）∵f(x)=x+log2(

3

3-x

-1)為增函數(shù)，
∴x∈[1，2]時(shí)，f（x）＞f（1）=0
由（1）知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

3

2

，

3

2

)對(duì)稱，記點(diǎn)A（1，0），B（2，3），C（2，0），
所求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=

3

2

，
∵S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，
∴S（n）＜S．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的基本運(yùn)算為基本載體，主要考查了數(shù)列求和的倒序相加求解和的方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是尋求題目的規(guī)律