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        1. 【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)fx)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有fx+T=Tfx)成立.

          1)函數(shù)fx=x是否屬于集合M?說明理由;

          2)設函數(shù)fx=axa0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點,證明:fx=ax∈M;

          3)若函數(shù)fx=sinkx∈M,求實數(shù)k的取值范圍.

          【答案】1fx=xM;(2)見解析(3{k|k=mπ,m∈Z}

          【解析】

          試題(1)將fx=x代入定義(x+T=Tfx)驗證知函數(shù)fx=x不屬于集合M

          2)由題意存在x∈R使得ax=x,由新定義知存在非零常數(shù)T使得aT=T,將函數(shù)關系式代入fx+T=Tfx)驗證知fx=ax∈M

          3)若函數(shù)fx=sinkx∈M,依據(jù)定義應該有sinkx+kT=Tsinkx∈[1,1]對任意實數(shù)都成立,故T=±1.將T=±1代入sinkx+kT=Tsinkxk的范圍即可.

          解:(1)對于非零常數(shù)T,

          fx+T=x+T,Tfx=Tx

          因為對任意x∈Rx+T=Tx不能恒成立,

          所以fx=xM

          2)因為函數(shù)fx=axa0a≠1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點,

          所以方程組:有解,消去yax=x

          顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T

          于是對于fx=axfx+T=ax+T=aTax=Tax=Tfx)故fx=ax∈M;

          3)當k=0時,fx=0,顯然fx=0∈M

          k≠0時,因為fx=sinkx∈M,所以存在非零常數(shù)T,

          對任意x∈R,有fx+T=Tfx)成立,

          sinkx+kT=Tsinkx

          因為k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R

          于是sinkx∈[1,1],sinkx+kT∈[1,1],

          故要使sinkx+kT=Tsinkx.成立,

          只有T=±1,當T=1時,sinkx+k=sinkx成立,

          k=2mπ,m∈Z

          T=1時,sinkxk=sinkx成立,

          sinkxk+π=sinkx成立,

          則﹣k+π=2mπ,m∈Z,即k=﹣(2m1π,m∈Z

          綜合得,實數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一.為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點扶貧村脫貧,堅持扶貧同扶智相結合,此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農產品加工生產方式,現(xiàn)對兩種生產方式的產品質量進行對比,其質量按測試指標可劃分為:指標在區(qū)間的為優(yōu)等品;指標在區(qū)間的為合格品,現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產的農產品中,各自隨機抽取100件作為樣本進行檢測,測試指標結果的頻數(shù)分布表如下:

          甲種生產方式:

          指標區(qū)間

          頻數(shù)

          5

          15

          20

          30

          15

          15

          乙種生產方式:

          指標區(qū)間

          頻數(shù)

          5

          15

          20

          30

          20

          10

          (1)在用甲種方式生產的產品中,按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式,隨機抽出5件產品,①求這5件產品中,優(yōu)等品和合格品各多少件;②再從這5件產品中,隨機抽出2件,求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率;

          (2)所加工生產的農產品,若是優(yōu)等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲種生產方式每生產一件產品的成本為15元,乙種生產方式每生產一件產品的成本為20元.用樣本估計總體比較在甲、乙兩種不同生產方式下,該扶貧單位要選擇哪種生產方式來幫助該扶貧村來脫貧?

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】過拋物線y2=4x的焦點的直線l與拋物線交于AB兩點,設點M3,0.若△MAB的面積為,則|AB|=( )

          A.2B.4C.D.8

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).

          1)當時,求曲線處的切線方程;

          2)如果對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

          3)討論函數(shù)的零點個數(shù).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R,f(x0)x0成立,則稱x0f(x)的不動點.已知f(x)ax2(b1)xb1(a≠0)

          (1)a1b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點;

          (2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;

          (3)(2)的條件下,若yf(x)圖象上A,B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點,且A,B兩點關于直線ykx對稱,求b的最小值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在矩形中,將沿對角線折起,使點到達點的位置,且平面平面.

          1)求證:

          2)若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】數(shù)列{an}的前n項和為,且滿足,,,.

          1)求數(shù)列{an}的通項公式;

          2)記,.

          ①求Tn

          ②求證:.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)

          1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

          2)若函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為1,問:在什么范圍取值時,對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值?

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù).
          (1)求該函數(shù)的最小正周期和最小值;
          (2),求該函數(shù)的單調遞增區(qū)間.

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          同步練習冊答案