Question

公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若，且數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求非零常數(shù)的值；
（3）在（2）的條件下，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由題知a₃+a₄=a₂+a₅=22，a₃•a₄=117，
所以，a₃=9，a₄=13或a₃=13，a₄=9，
所以公差d=±4，又因為d＞0，
所以d=4，因此a_n=4n-3（4分）
（2）∵S_n==n（2n-1），
所以=，
由{b_n}是等差數(shù)列得，2b₂=b₁+b₃，
∴=+，整理得：2c²+c=0，
∴c=-，（其中c=0舍去）（8分）
（3）由（2）知b_n=2n，
∴f（n）===≤=．
當且僅當n=，即n=6時取得等號．即f（n）_max=．
分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式，由a₃•a₄=117，a₂+a₅=22即可求得首項與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由a_n=4n-3可求得S_n=n（2n-1），從而得b_n=，再利用{b_n}是等差數(shù)列由2b₂=b₁+b₃，即可求得c的值；
（3）由（2）求得b_n=2n，于是f（n）=，利用基本不等式即可求得f（n）_max．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，著重考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，屬于綜合性強的難題．