Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)在(2)的條件下(提示：可以用第(2)問的結(jié)論)，任意的，證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析 ．

【解析】

(1)確定函數(shù)的定義域，求，對分類討論確定區(qū)間上的根的情況，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在上恒成立，則只需函數(shù)即可，故根據(jù)第(1)問中函數(shù)的單調(diào)性，可確定當(dāng)時函數(shù)有最大值，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷，進(jìn)而可得，從而可求得的范圍；

(3)可化為，結(jié)合由(2)得，時，，而，故可得，又，進(jìn)而可證得結(jié)果．

(1)函數(shù)的定義域為,．

①當(dāng)時，在上單調(diào)增

②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)增；

③當(dāng)時，

令得，，所以在上單調(diào)遞增；

令得，，所以在上單調(diào)遞減．

(2)由(1)知，當(dāng)時，在上單調(diào)增，且，

所以在上不恒成立；

當(dāng)時，由(1)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，故只需即可，

令，，

所以當(dāng)時，；當(dāng)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即，又，

所以,解得

綜上，的取值范圍是．

(3)注意：用第(2)題的結(jié)論：時，．

，

因為，所以，由(2)得，時，

令，則，因為，所以，即，

因為，所以．