Question

拋物線y²=2px（p＞0）上任一點(diǎn)Q到其內(nèi)一點(diǎn)P（3，1）及焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)動直線y=kx+b與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且|y₁-y₂|的值為定值a（a＞0），過弦AB的中點(diǎn)M作平行于拋物線的軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，求△ABD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PM⊥l交準(zhǔn)線l、拋物線分別于點(diǎn)M、Q，根據(jù)拋物線的定義得|QF|=|QM|，可知：當(dāng)三點(diǎn)P、Q、M共線時(shí)，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）將直線與拋物線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)x得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)y的一元二次方程，據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，于是求出|DM|．再根據(jù)可計(jì)算出，另一方面|y₁-y₂|=a，得出一個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而計(jì)算出面積．
解答：解：（1）如圖所示，由拋物線定義，，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）如下圖：由得=0，
∴．
∴．
∴|DM|=．
∴．
∵|y₁-y₂|====a，
∴．
點(diǎn)評：正確理解拋物線的定義，掌握直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般方法是解題的關(guān)鍵．