Question

曲線y=f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值，當(dāng)處有極大值，且在x=1處切線的斜率為．
（I）求f（x）；
（II）曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值，當(dāng)處有極大值
∴f′（1±）=0
即1±為方程3ax²+2bx+c=0的兩根
∴-=（1+）+（1-）
=（1+）（1-）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1處切線的斜率為．
∴f′（1）=
∴3a+2b+c=
∴a=-，b=，c=1
∴f（x）=-x³+x²+x
（II）假設(shè)存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴-（x₀+x）³+（x₀+x）²+（x₀+x）-（x₀-x）³+（x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化簡(jiǎn)得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀-x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴
∴x₀=1，y₀=
∴曲線上存在P（1，）滿足題意
分析：（I）根據(jù)1±是極值點(diǎn)可知f′（1±）=0，以及f′（1）=建立方程組，解之即可；
（II）假設(shè)存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)整理可求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，同時(shí)考查了方程組的解法，屬于中檔題．