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          若矩陣M有特征向量
          e1
          =
          1
          0
          ，
          e2
          =
          0
          1
          ，且它們所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征值分別為2，-1．
          （1）求矩陣M及其逆矩陣N
          （2）求N100
          2
          3
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）設(shè)矩陣M=
          ab
          cd
          ，則 
          1
          0
          是矩陣A的屬于λ1=2的特征向量，則有 
          2-a-b
          -c2-d
          1
          0
          =
          0
          0
          ①，
          0
          1
          是矩陣A的屬于λ2=-1的特征向量，則有 
          -1 -a-b
          -c  -1-d
          0
          1
          =
          0
          0
          ②，由此能夠求出矩陣M及其逆矩陣N．
          （2）根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式求出矩陣A的特征值，由于
          2
          3
          =2 
          e1
          +3
          e2
          ，∴N100
          2
          3
          =N100（2 
          e1
          +3
          e2
          ）=2（N100
          e1
          ）+3N100
          e2
          ，求出值即可．
          解答：解：設(shè)矩陣M=
          ab
          cd
          ，這里a，b，c，d∈R，
          因?yàn)?span id="ry88dyg"    class="MathJye">
          1
          0
          是矩陣A的屬于λ1=2的特征向量，則有
          2-a-b
          -c2-d
          1
          0
          =
          0
          0
          ①，
          又因?yàn)?span id="lerglge"    class="MathJye">
          0
          1
          是矩陣A的屬于λ2=-1的特征向量，則有
          -1-a-b
          -c-1-d
          0
          1
          =
          0
          0
          ②，
          根據(jù)①②，則有
          2-a=0
          -c=0
          -b=0
          -1-d=0
          從而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=
          20
          0-1
          ，（6分）
          設(shè)A-1=
          ef
          gh
          ，則有
          ef
          gh
          20
          0-1
          =
          2e-f
          2g-h
          =
          10
          01
          ，
          則得
          2e=1
          -f=0
          2g=0
          -h=1
          從而 e=
          1
          2
          ，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=
          1
          2
          		0
          0-1
          ．（10分）
          （2）根據(jù)題意
          e1
          =
          1
          0
          ，
          e2
          =
          0
          1
          分別是矩陣A-1屬于特征值
          1
          2
          ，-1的特征向量，
          由于
          2
          3
          =2 
          e1
          +3
          e2

          ∴N100
          2
          3
          =N100（2 
          e1
          +3
          e2
          ）=2（N100
          e1
          ）+3N100
          e2
          =2(
          λ
          100
          1
          e1)+
          3λ
          100
          2
          e2=2×(
          1
          2
          )          100
          1
          0
          +3×(-1)100
          0
          1
          =
          2-99
          3
          ．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生會(huì)利用二階矩陣的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷
				題型：解答題
			
          

						
          在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
          


          A、選修4-1：幾何證明選講
          


             如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。
          


          


          B、選修4-2：矩形與變換
          


          已知 為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。
          


          C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          


             在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
          


          D、選修4-5：不等式選講
          


             已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷
				題型：解答題
			
          

						
          在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
          A、選修4-1：幾何證明選講
          如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

          B、選修4-2：矩形與變換
          已知為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。
          C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
          D、選修4-5：不等式選講
          已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。
          

			
          

			
          
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