Question

（2013•煙臺二模）已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15

5

，求這個(gè)橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線、橢圓的方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合四邊形OACB為平行四邊形，確定C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得離心率；
（2）求出AB，原點(diǎn)到直線l的距離，可得△OAB的面積，利用△OAC的面積為15

5

，求這個(gè)橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直線l：y=x-c
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為（x₀，y₀），則
直線方程代入橢圓方程可得（a²+b²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0
∴x₁+x₂=

2a2c

a2+b2

，∴x₀=

a2c

a2+b2

，y₀=x₀-c=

-b2c

a2+b2

∵四邊形OACB為平行四邊形
∴C（

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

）
代入橢圓方程并化簡可得4c²=a²+b²
∵b²=a²-c²
∴2a²=5c²
∴e=

10

5

；
（2）由題意，S_△OAC=S_△OAB
∵直線AB過焦點(diǎn)F，∴AB=AF+FB=（a-ex₁）+（a-ex₁）=2a-e（x₁+x₂）=2a-e•

2a2c

a2+b2

①
∵e=

10

5

，∴c=

10

5

a，b2=

3

5

a2
代入①，可得AB=

3

2

a
∵原點(diǎn)到直線l的距離d=

c

2

=

5

5

a
∴△OAB的面積等于

1

2

AB•d=

3 5

20

a2
由

3 5

20

a2=15

5

，可得a=10，∴b²=60
∴橢圓的方程為

x2

100

+

y2

60

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．