Question

(本小題滿(mǎn)分12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以＞0)為斜率的直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為.應(yīng)用待定系數(shù)求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）假設(shè)直線(xiàn)（）方程.其中有兩個(gè)參數(shù).聯(lián)立橢圓方程.消去即可得一個(gè)關(guān)于的二次方程.首先由二次方程根的判別式大于零可得一個(gè)關(guān)于的不等的關(guān)系式.其次由韋達(dá)定理寫(xiě)出兩個(gè)根與的關(guān)系式.寫(xiě)出線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的方程.從而可得中垂線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的截距.再寫(xiě)出垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，依題意即可得一個(gè)關(guān)于的等式.由這兩步消去.即可得的取值范圍.
試題解析：（1）由已知設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，　　＞＞0）
由題設(shè)得解得　，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為       4分
（2）由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為　　�。�＞0）
由　消去得　�、�
設(shè)　　則，＝
線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足　　
　　
從而線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為
此直線(xiàn)與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、
由題設(shè)可得　整理得　�。�＞0）　�、�
由題意在①中有　＞0　　整理得＞0
將②代入得　　＞0�。�＞0），
　即　＞0，　＜0，即＜0
∴＜＜4　　　　所以的取值范圍是。     12分