Question

已知為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若所在的直線方程為，求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，當(dāng)中點(diǎn)恰為點(diǎn)時(shí)，判斷的面積是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）;（2）定值為

試題分析：（1）因?yàn)榍?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034147114432.png" style="vertical-align:middle;" />所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長(zhǎng).一般是通過(guò)聯(lián)立兩方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，可以解得兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出弦長(zhǎng).
（2）直線與圓的位置關(guān)系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當(dāng)斜率存在時(shí)，通過(guò)聯(lián)立方程，應(yīng)用韋達(dá)定理知識(shí)，求出弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高的長(zhǎng).從而寫(xiě)出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據(jù)的關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個(gè)等式，從而可得結(jié)論.
試題解析：（1）由  得，
解得或，
所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和所以.
（2）①若是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034147192617.png" style="vertical-align:middle;" />，在線段上，所以，求得，
所以的面積等于.
②若B不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)，，
由 得
，，
所以，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得.
計(jì)算.
因?yàn)辄c(diǎn)到的距離 
所以，的面積.
綜上，面積為常數(shù).