Question

設(shè)函數(shù)（其中），區(qū)間.
（Ⅰ）定義區(qū)間的長度為，求區(qū)間的長度；
（Ⅱ）把區(qū)間的長度記作數(shù)列，令，
（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）是否存在正整數(shù)，（）,使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2);.

解析試題分析：(1)掌握一元二次不等式的解法；（2）觀測數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的；（3）與數(shù)列有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).
試題解析：解：（Ⅰ）由，得，解得， 
即，所以區(qū)間的長度為；           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .                           
（1）∵
∴

                                       6分
（2）由（1）知，，，
假設(shè)存在正整數(shù)、 ，使得、、成等比數(shù)列，則 ，
即 , 經(jīng)化簡得.
∴     ∴ （*）
當(dāng)時(shí)，（*）式可化為 ，所以. 
當(dāng)時(shí)，.
又∵，∴（*）式可化為 ，所以此時(shí)無正整數(shù)解.
綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)、，此時(shí)，.      10分
考點(diǎn)：（1）一元二次不等式的解法；（2）裂項(xiàng)法求和；(3)證明存在性問題.