Question

設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=

a2

c

上存在點P，使線段PF₁的中垂線過點F₂，則橢圓的離心率的取值范圍是

（

3

3

，1）

．

Answer 1

分析：設準線與x軸的交點為Q，連結PF₂，根據(jù)平面幾何的知識可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c且|PF₂|≥|QF₂|，由此建立關于a、c的不等關系，化簡整理得到關于離心率e的一元二次不等式，解之即可得到橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：設準線與x軸的交點為Q，連結PF₂，
∵PF₁的中垂線過點F₂，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，可得|PF₂|=2c，
∵|QF₂|=

a2

c

-c，且|PF₂|≥|QF₂|，
∴2c≥

a2

c

-c，兩邊都除以a得2•

c

a

≥

a

c

-

c

a

，
即2e≥

1

e

-e，整理得3e²≥1，解得e≥

3

3

，
結合橢圓的離心率e∈（0，1），得

3

3

≤e＜1．
故答案為：（

3

3

，1）．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓離心率的范圍．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)和不等式的解法等知識，屬于中檔題．