Question

如圖,O為坐標原點,直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a＞0,b≠0),且交拋物線y²=2px(p＞0)于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)兩點.

(1)寫出直線l的截距式方程;

(2)證明+=;

(3)當a=2p時,求∠MON的大小.

Answer 1

剖析：易知直線l的方程為+=1,欲證+=,即求的值,為此只需求直線l與拋物線y²=2px交點的縱坐標.由根與系數(shù)的關系易得y₁+y₂、y₁y₂的值,進而證得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由k_OM·k_ON=-1求得∠MON=90°.

(1)解：直線l的截距式方程為+=1.                                   ①

(2)證明：由①及y²=2px消去x可得by²+2pay-2pab=0.           ②

    點M、N的縱坐標y₁、y₂為②的兩個根,故y₁+y₂=,y₁y₂=-2pa.

    所以+===.

(3)解：設直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂,

    則k₁=,k₂=.

    當a=2p時,由(2)知,y₁y₂=-2pa=-4p²,

    由y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,相乘得

    (y₁y₂)²=4p²x₁x₂,

    x₁x₂===4p²,因此k₁k₂===-1.

    所以OM⊥ON,即∠MON=90°.

講評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.