Question

從圓外一點P（a，b）向圓x²+y²=r²引割線交該圓于A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：由題意，令圓心為O，則OM垂直于PM，設(shè)M（x，y），表示出兩線OM與PM的斜率，因兩者垂直，心斜率乘積為-1建立方程即可得出中點M的坐標(biāo)所滿足的方程．

解答：解：設(shè)M（x，y），如圖，PM⊥OM，因為圓心在原點，故其坐標(biāo)為（0，0）
由公式kPM=

y-b

x-a

，kOM=

y-0

x-0

=

y

x

故有

y-b

x-a

×

y

x

=-1
整理得（x-

1

2

a）²+（y-

1

2

b）²=

1

4

（a²+b²）（在圓x²+y²=r²內(nèi)的部分）
答：弦AB的中點M的軌跡方程是（x-

1

2

a）²+（y-

1

2

b）²=

1

4

（a²+b²）（在圓x²+y²=r²內(nèi)的部分）．

點評：考查在坐標(biāo)系下將幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的能力，通過借助圖形找出相關(guān)的位置關(guān)系來建立方程．