Question

【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面的射影落在線(xiàn)段AG上．

（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析； （II）.

【解析】

（Ⅰ）由題易證BE⊥PO，BE⊥AG，可得BE⊥平面PAG，既而證得平面PBE⊥平面APG；

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MAB和平面ABD的法向量，再根據(jù)二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.

（Ⅰ）取BE中點(diǎn)F，連接AF，GF，由題意得A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線(xiàn)，

過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE

∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE⊥AG

∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，

∵BE平面PBE，

∴平面PBE⊥平面APG．

（II）連接PF，∵

又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，

∴PF⊥底面ABCDE．

∴O點(diǎn)與F點(diǎn)重合．

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

底面ABCDE的一個(gè)法向量

∵，∴，

設(shè)平面ABM的法向量，

∵，

∴，∴，

∴，取則，

∴，

∵二面角的法向量分別指向二面角的內(nèi)外，＜＞即為二面角的平面角，

∴cos＜＞==．

∴二面角M-AB-D的余弦值為．

）