Question

解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 已知橢圓(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如果該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，)，且△AF1F2的周長(zhǎng)為， (1) 求這個(gè)橢圓的方程； (2) 設(shè)該橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得，為什么？

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：由于橢圓過(guò)點(diǎn)A(0，)，則(1分)，而的周長(zhǎng)為， 則，由橢圓定義知，， 故(3分)，而，聯(lián)立解得(5分)， 因此，橢圓方程為(6分) 說(shuō)明：本題還有其它方法，如可設(shè)M()，()，MN的中點(diǎn)為P()， 則，，兩式相減得, ∵,,,故①,設(shè)，則AP⊥MN，，②，聯(lián)立①、②得，，而點(diǎn)P在直線MN上，，即，此時(shí)直線方程為，代入橢圓方程無(wú)實(shí)數(shù)解,則直線與橢圓C無(wú)交點(diǎn)，因此，不存在實(shí)數(shù)，使得．當(dāng)然也可以根據(jù)點(diǎn)P(,)不在橢圓C內(nèi)而知直線與橢圓C無(wú)交點(diǎn)．

(2)

解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)，由得 由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即①(8分) 設(shè)MN的中點(diǎn)為P(xP，yP)，xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則從而，(10分) 又，則，而，∴(12分) 即，此與①相矛盾(13分)，因此，不存在這樣的實(shí)數(shù)，使得(14分) 　　說(shuō)明：對(duì)沒(méi)有檢驗(yàn)者得出,至少要扣3分