Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，若存在，，使，求實數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，）

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間，當(dāng)時，的減區(qū)間為；當(dāng)時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求出函數(shù)的定義域和，然后解關(guān)于的不等式，即可分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）由（I）可得時函數(shù)在上單調(diào)遞減，把存在，，使，轉(zhuǎn)化為上的最大值大于的最小值，進而轉(zhuǎn)化為在的上的最大值、最小值.

試題解析：（Ⅰ），.…………………1分

令

①時，，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.…………2分

②當(dāng)時，

所以當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減.……………………4分

當(dāng)時，，，

,

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，………………7分

所以當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間.

當(dāng)時，的減區(qū)間為.

當(dāng)時，的減區(qū)間為，

增區(qū)間為.…………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值為，………………10分

，令，得.

時，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增，………………12分

所以在上的最小值為，……………13分

由題意可知，解得…………14分

所以