Question

設函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞-1）上的最小值；
（3）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域（-1，+∞），對函數(shù)求導可得f′(x)=2(x+1)-

1

x+1

，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0解得x的范圍，即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間
（2）討論m的取值范圍，確定函數(shù)f（x）在[m，m+1]上的單調(diào)性，結合單調(diào)性以確定函數(shù)在區(qū)間[m，m+1]上的最值
（3）由f（x）=x²+x+a在[0，2]有兩不等的根?x-a+1-2ln（1+x）=0在區(qū)間[0，2]上有兩不等的根，構造函數(shù)g（x）=x-a+1-2ln（1+x），對函數(shù)求導，由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間[0，1]，增區(qū)間[1，2]，從而可得

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

求出a的取值范圍

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（-1，+∞）．（1分）
∵f′（x）=2[（x+1）-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（-1，0）．（4分）

（2）①當m≥0時，f（x）在[m，m+1]是增加的
此時f（x）_min=f（m）=（m+1）²-2ln（1+m）（6分）
②當-1＜m＜0時，f（x）在[m，0]是減少的、在[0，m+1]是增加的
此時f（x）_min=f（0）=1

（3）方程f（x）=x²+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
記g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，（9分）
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．（10分）
為使方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，
只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實數(shù)根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴a∈（2-ln2，3-2ln3]（12分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性、最值、及根的分布問題，體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學思想在解題中的應用．