Question

甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

2

5

，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P₂．
（1）若m=10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；
（2）若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是

1

3

，求P₂的值；
（3）設(shè)P₂=

1

5

，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

2

5

，根據(jù)等可能事件的概率求法做出紅球的個(gè)數(shù)．
（2）從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

2

5

，甲袋中紅球的個(gè)數(shù)

2

5

m，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P₂．乙袋中有紅球2mp₂，相加得到紅球總數(shù)，根據(jù)概率列出方程，得到結(jié)果．
（3）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，它的取值是0、1、2、3，在兩個(gè)袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，做出概率，列出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，
∵從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

2

5

，
∴依題意得x=10×

2

5

=4．

（Ⅱ）∵從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

2

5

，
∴甲袋中紅球的個(gè)數(shù)

2

5

m，
∵從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P₂．
∴乙袋中有紅球2mp₂
由已知得：

2 5 m+2mP2

3m

=

1

3

，
解得P₂=

3

10

．

（Ⅲ）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，它的取值是0、1、2、3，
在兩個(gè)袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，
∴P(ξ=0)=

3

5

×

4

5

×

4

5

=

48

125

，
P(ξ=1)=

2

5

×

4

5

×

4

5

+

3

5

×

C

1 2

×

1

5

×

4

5

=

56

125

，
P(ξ=2)=

2

5

×

C

1 2

×

1

5

×

4

5

+

3

5

×(

1

5

)2=

19

125

，
P(ξ=3)=

2

5

×(

1

5

)2=

2

125

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

48

125

+1×

56

125

+2×

19

125

+3×

2

125

=

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查概率和期望以及它們的實(shí)際應(yīng)用，期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識做鋪墊．