Question

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=

2

，AB′=

5

，正方形的邊長為

6

，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明BB°∥CC′∥DD′，在CC′上取點(diǎn)E，使得CE=DD′，連接BE，D′E，證明ABED′是平行四邊形，可得AD′∥BE，從而可證AD′平面BB′C′C，四邊形AB′C′D′是平行四邊形；
（2）先證明AC′⊥B′C′，根據(jù)正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，可得平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值=

SAB′C′D′

SABCD

，計(jì)算面積即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：依題意，BB′⊥平面AB′C′D′，CC′⊥平面AB′C′D′，DD′⊥平面AB′C′D′，
所以BB°∥CC′∥DD′．             …（2分）
在CC′上取點(diǎn)E，使得CE=DD′，
連接BE，D′E，如圖1．

因?yàn)镃E∥DD′，且CE=DD′，所以CDD′E是平行四邊形，∴D′E∥DC，且D′E=DC．
又ABCD是正方形，∴DC∥AB，且DC=AB，
所以D′E∥AB，且D′E=AB，故ABED′是平行四邊形，…（4分）
從而AD′∥BE，又BE?平面BB′C′C，AD′?平面BB′C′C，
所以AD′∥平面BB′C′C．           …（6分）
四邊形AB′C′D′是平行四邊形．…（7分）
（2）依題意，在Rt△ABB′中，BB′=1，在Rt△ADD′中，DD′=2，
所以CC′=BB′+DD′-AA′=1+2-0=3．   …（8分）
連接AC，AC′，如圖2，
在Rt△ACC′中，AC′=

3

．
所以AC′²+B′C′²=AB′²，故AC′⊥B′C′．…（10分）
由題意，正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，
所以平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值=

SAB′C′D′

SABCD

．  …（12分）
而S_ABCD=6，S_{AB′C′D′}=B′C′×AC′=

2

×

3= 6

，所以cosθ=

6

6

，
所以平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值為

6

6

． …（14分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．