Question

已知拋物線的焦點為F₂，點F₁與F₂關(guān)于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P,Q且.
（I）求點T的橫坐標；
（II）若以F₁,F₂為焦點的橢圓C過點.
①求橢圓C的標準方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設(shè)，若的取值范圍.

Answer 1

（I）；（II）①，②  

解析試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，由已知得到關(guān)于的一個方程；又點在拋物線上得方程，聯(lián)立方程解得；（II）①由已知得橢圓的半焦距，設(shè)橢圓的標準方程為，由橢圓過點可得，又即，從而解得，；②容易驗證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程得，設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，因為，所以，且將和平方除以積化簡得，將所求的模平方通過坐標運算轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的函數(shù)，解得。
試題解析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，
則，.
由，得即，①
又在拋物線上，則，②
聯(lián)立①、②易得
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，
設(shè)橢圓的標準方程為，則  ③
   ④
將④代入③，解得或（舍去）
所以
故橢圓的標準方程為
（ⅱ）方法一：
容易驗證直線