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        1. (2012•河西區(qū)二模)已知曲線C:y=x2(x>0),過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點B1,再過點B1作y軸的平行線交曲線C于點A2,再過點A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2,再過點B2作y軸的平行線交曲線C于點A3,…,依次作下去,記點An的橫坐標為an(n∈N*
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求證:anSn≤1;
          (3)求證:
          n
          i=1
          1
          aiSi
          4n-1
          3
          分析:(1)由y'=2x(x>0).知切線ln的方程為y-an2=2an(x-an).所以Bn
          an
          2
          ,0).依題意點An+1在直線x=
          an
          2
          上,所以數(shù)列{an}是1為首項,
          1
          2
          為公比的等比數(shù)列.由此能求出數(shù)列{an}的通項公式
          (2)由(I)求出Sn的表達式,進而得到anSn的表達式,令t=
          1
          2n
          ,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),可得anSn≤1;
          (3)Sn≥an,(n∈N*),可得anSn≥anS2,進而
          1
          anSn
          1
          a
          2
          n
          ,利用放縮法,可得答案.
          解答:解:(1)解(I)∵y'=2x(x>0).
          ∴曲線C在點An(an,an2)處的切線ln的斜率為kn=2an
          ∴切線ln的方程為y-an2=2an(x-an).(2分)
          令y0=0得:x=
          an
          2
          ,
          ∴Bn
          an
          2
          ,0).
          依題意點An+1在直線x=
          an
          2
          上,
          ∴an+1=
          an
          2
          (n∈N*),又a1=1.(4分)
          ∴數(shù)列{an}是1為首項,
          1
          2
          為公比的等比數(shù)列.
          ∴an=
          1
          2n-1
          .(5分)
          (2)∵Sn=
          1-
          1
          2n
          1-
          1
          2
          =2(1-
          1
          2n

          ∴anSn=4×
          1
          2n
          1-
          1
          2n

          令t=
          1
          2n
          ,則0<t≤
          1
          2

          ∴anSn=4t(1-t)=-4(t-
          1
          2
          2+1
          ∴當t=
          1
          2
          時,即n=1時,anSn取最大值1
          即anSn≤1(9分)
          (3)∵Sn≥an,(n∈N*),
          ∴anSn≥anS2
          1
          anSn
          1
          a
          2
          n
          (11分)
          ∵{
          1
          a
          2
          n
          }是首項為1,公比為4的等比數(shù)列
          n
          i=1
          1
          aiSi
          n
          i=1
          1
          ai2
          =
          1-4n
          1-4
          =
          4n-1
          3
          (14分)
          點評:本題考查的知識點是數(shù)列的通項公式,前n項和公式,二次函數(shù)的性質(zhì),數(shù)列一不等式的綜合應用,是數(shù)列與其它模塊綜合題型,難度較大.
          練習冊系列答案
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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的焦距為2
          3
          ,離心率為
          3
          2

          (Ⅰ)求橢圓方程;
          (Ⅱ)設過橢圓頂點B(0,b),斜率為k的直線交橢圓于另一點D,交x軸于點E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比數(shù)列,求k2的值.

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          (2012•河西區(qū)二模)把函數(shù)y=cos2(x+
          3
          )
          的圖象向右平移φ(φ>0)個單位后圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小值為(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•河西區(qū)二模)已知復數(shù)z=
          m+2i
          3-4i
          為實數(shù),則實數(shù)m的值為(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•河西區(qū)二模)閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的a的值為(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•河西區(qū)二模)函數(shù)f(x)=log3x-(
          1
          3
          )x
          的零點所在區(qū)間是( 。

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          同步練習冊答案