Question

設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.8、0.9，求：

(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；

(2)兩人中有1人擊中目標(biāo)的概率；

(3)在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率；

(4)兩人中，至多有1人擊中目標(biāo)的概率.

Answer 1

分析：設(shè)出已知事件，然后利用互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件將所求事件分解成已知事件的和或積，從而得出相應(yīng)的事件等式，最后利用有關(guān)概率公式求解即可.

解：設(shè)事件A={甲射擊一次，擊中目標(biāo)}，事件B={乙射擊一次，擊中目標(biāo)}，A與B相互獨(dú)立，則P(A)=0.8，P(B)=0.9.

(1)兩人都擊中目標(biāo)的事件為A·B，

∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.

即兩人都擊中目標(biāo)的概率為0.72.

(2)設(shè)事件C={兩人中有1人擊中目標(biāo)}，則C=A·+B·，∵A·與B·A互斥，且A與B獨(dú)立，

∴P(C)=P(A·+B·)

=P(A·)+P(B·)

=P(A)·P()+P(B)·P()

=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］

=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.

即兩人中有1人擊中目標(biāo)的概率為0.26.

(3)設(shè)D={目標(biāo)被擊中}={兩人中至少有1人擊中目標(biāo)}，本問有三種解題思路.

方法一：∵D=A·+B·+·B，則A與，B與，A與B相互獨(dú)立，A·、B·、A·B彼此互斥，∴P(D)=P(A·+B·+A·B)=P(A·)+P(B·)+P(A·B)=P(A)·P()+P(B)·P(A)+

P()·P(B)=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］+P(A)·P(B)=0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98.

即目標(biāo)被擊中的概率是0.98.

方法二：利用求對立事件概率的方法.

兩人中至少有1人擊中的對立事件為兩人都未擊中，所以兩人中至少有1人擊中的概率為P(D)=1-P(·)=1-P()·P()=1-0.2×0.1=0.98.

即目標(biāo)被擊中的概率是0.98.

方法三：∵D=A+B，且A與B獨(dú)立，∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)=0.8+0.9-0.8×0.9=0.98.

故目標(biāo)被擊中的概率是0.98.

(4)設(shè)E={至多有1人擊中目標(biāo)}，則本問有兩種思路：

方法一：∵E=A·+B·+·，且A與、B與、與B獨(dú)立，且A·、·、·彼此互斥，

∴P(E)=P(A·+B·+·B)

=P(A·)+P(B·)+P(·)

=P(A)·P()+P(B)·P()+P()·P()

=0.8×0.1+0.9×0.2+0.1×0.2=0.28.

故至多有1人擊中目標(biāo)的概率為0.28.

方法二：∵=“兩人都擊中”，∴=A·B，且A與B獨(dú)立.∴P()=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=

0.72.∵D與對立，∴P(D)=1-P()=1-0.72=0.28.

故至多有1人擊中目標(biāo)的概率為0.28.

綠色通道:由上述解法可以看出，靈活、有效地將一些比較復(fù)雜的事件分解成為互斥事件和相互獨(dú)立事件的和或積，列出事件等式，是求解概率問題的關(guān)鍵所在.