Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，且對任意實數(shù)x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求實數(shù)n的取值的集合A．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=nx-1的兩根為x₁，x₂，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由題可知1≤f（2）≤1，
從而f（2）=1．
因此，
故b=-a，c=-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（+a）x+-2a≥0對x∈R恒成立，
故△=（+a）²-4a（-2a）≤0，
即9a²-4a+≤0，
解得a=，
故f（x）=x²+-
（2）由x²+-≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-或n≥1，從而A=（-∞，-]∪[1，+∞）
（3）顯然|x₁-x₂|≥0，當(dāng)且僅當(dāng)n=-或n=1時取得等號，
故m²+tm+1≤0對t∈[-3，3]恒成立．記g（t）=m•t+（m²+1），
則有，
即，
故m∈∅，不存在這樣的實數(shù)m
分析：（1）使用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組．
（2）當(dāng)f（x）的二次系數(shù)a＞0時，f（x）≤0的解集非空?△≥0
（3）可將其轉(zhuǎn)化為求的關(guān)于m的不等式組．
點評：解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在數(shù)量關(guān)系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在圖形上就是考查二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的關(guān)系．因此要熟練掌握“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，善于用轉(zhuǎn)化思想分析解決問題．