Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，點(diǎn)F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

Answer 1

（Ⅰ） 垂直   （Ⅱ） 

解析:

（Ⅰ）因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                           （2分

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，

從而B(niǎo)C⊥AE.                                                           （5分）

于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.                                 （6分）

（Ⅱ）方法一：連結(jié)BD交AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等.

因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以BF為點(diǎn)B到平面ACE的距離.                  （8分）

因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因?yàn)锳B＝2，所以BE＝.                          （9分）

在Rt△CBE中，.                      （10分）

所以.

故點(diǎn)D到平面ACE的距離是.                            （12分）

方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，從而G為AB的中點(diǎn).又AB＝2，所以EG＝１.                                        （8分）

因?yàn)锳E⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，.                    （10分）

設(shè)點(diǎn)D到平面ACE的距離為ｈ，因?yàn)椋?sub>Ｄ－ACE＝V_E－ACD，則.

所以，故點(diǎn)D到平面ACE的距離是. （12分）