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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
          (1)若f(-1)=0,試判斷函數(shù)f(x)零點個數(shù);
          (2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同時滿足以下條件:①對任意x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;②對任意x∈R,都有0≤f(x)-x≤
          12
          (x-1)2
          ,若存在,求出a,b,c的值,若不存在,請說明理由.
          分析:(1)通過對二次函數(shù)對應(yīng)方程的判別式進行分析判斷方程根的個數(shù),從而得到零點的個數(shù);
          (2)存在性問題的一般處理方法就是假設(shè)存在,然后根據(jù)題設(shè)條件求得參數(shù)的值.
          解答:解:(1)∵f(-1)=0,
          ∴a-b+c=0即b=a+c,
          故△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2
          當a=c時,△=0,函數(shù)f(x)有一個零點;
          當a≠c時,△>0,函數(shù)f(x)有兩個零點.
          (2)假設(shè)存在a,b,c滿足題設(shè),由條件①知拋物線的對稱軸為x=-1
          f(x)min=0;?∴
          -
          b
          2a
          =-1
          4ac-b2
          4a
          =0
          ?
          b=2a
          b2=4ac
          ?a=c

          在條件②中令x=1,有0≤f(1)-1≤0,?
          ∴f(1)=1,
          ?即a+b+c=1
          a+b+c=1
          b=2a
          a=c
          ?a=c=
          1
          4
          , b=
          1
          2
          (檢驗略)
          ∴存在a=
          1
          4
          , b=
          1
          2
          , c=
          1
          4
          使f(x)同時滿足條件①②.
          點評:本題考查函數(shù)零點個數(shù)與方程根的個數(shù)問題,以及存在性問題的處理方式,屬于較難的題目.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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          同步練習冊答案