Question

（2010•天津模擬）設(shè)f（x）=（1+x）⁶（1-x）⁵，則函數(shù)f'（x）中x²的系數(shù)為

-15

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析可得要求導(dǎo)函數(shù)f′（x）展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)可先求，函數(shù)f（x）=（1+x）⁶（1-x）⁵的展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)，而f（x）=（1+x）⁵（1-x）⁵（1+x）=（1-x²）⁵（1+x），分析可得x³的項(xiàng)由1+x²的常數(shù)項(xiàng)與（1-x²）⁵的x²的項(xiàng)構(gòu)成和（1+x）中的x的項(xiàng)構(gòu)成，由二項(xiàng)式定理可得函數(shù)f（x）=（1-x²）⁵（1+x），其展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可得答案．

解答：解：要求導(dǎo)函數(shù)f′（x）展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)可先求，
函數(shù)f（x）=（1+x）⁶（1-x）⁵的展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)，
f（x）=（1+x）⁵（1-x）⁵（1+x）=（1-x²）⁵（1+x），
分析可得x³的項(xiàng)由1+x²的常數(shù)項(xiàng)與（1-x²）⁵的x²的項(xiàng)構(gòu)成和（1+x）中的x的項(xiàng)構(gòu)成，
則函數(shù)f（x）=（1-x²）⁵（1-x），其展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)C₅⁴（-1）×1=-5；
導(dǎo)函數(shù)f′（x）展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)為-5×3=-15；
故答案為-15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=（1+x）⁶（1-x）⁵的展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題．