Question

如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，，，，且平面平面．
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？
證明你的結(jié)論．

Answer 1

(1) ， (2)詳見(jiàn)解析.

試題分析：(1)利用空間向量求線面角，關(guān)鍵求出面的一個(gè)法向量. 先由面面垂直得到線面垂直，即由平面面，得平面．建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，得 ，設(shè)平面的法向量為，則有所以  取，得．根據(jù)與平面所成的角正弦值等于與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值，得到與平面所成角的正弦值為．(2) 假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè) ，可求出平面的一個(gè)法向量．要使平面平面，只需，即，此方程無(wú)解，所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045330803589.png" style="vertical-align:middle;" />，，
在△中，由余弦定理可得，
所以． 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045331646534.png" style="vertical-align:middle;" />
平面面，所以平面．  
所以兩兩互相垂直，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，所以．
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  取，得．   
設(shè)與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為．
(2)線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．證明如下：
假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè) ，所以．
設(shè)平面的法向量為，則有 
所以  取，得．
要使平面平面，只需，即，
此方程無(wú)解，所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．