Question

正四棱柱ABCD-A′B′C′D′各頂點都在表面積為24π的球面上，且底邊AB的長為2，則頂點A到平面A'BD的距離為

 

．

Answer 1

分析：先設出球的半徑為R，根據(jù)求表面積公式求出R，并且求出AA′．
方法一三棱錐A-ABD的體積的兩種算法：一種算法以A為頂點，則A到平面A′BD的距離設為h，算出體積；另一種以A′為頂點，則A′到平面ABD的距離為AA′，算出體積．相等得到答案．
方法二找出BD中點O，連接A′O過A作AH⊥A′O，垂足為H，由平面AA′O⊥平面A′BD，得到AH⊥平面A′BD，即AH為點A到平面A'BD的距離．利用三角形的面積法求出AH即可．

解答：解：設球半徑為R，則S_表=4πR²=24π，則R²=6，
由AC'=2R，
即A'A²+AB²+AD²=（2R）²，
得AA'=4．
法一等體積法，利用V_A'-ABD=V_A-A'BD．設點A到平面A'BD的距離為h，設O為BD
中點，連A′O，則A′O⊥BD，
易得A′O=

18

，BD=2

2

．
由VA′-ABD=

1

3

•AA′•

1

2

AB•AD=

8

3

，VA-A′BD=

1

3

h•S△A′BD，
易求S△A′BD=

1

2

BD•A′O=6，
所以

8

3

=

1

3

h•6?h=

4

3

．

法二過A作AH⊥A′O，垂足為H，
∵平面AA′O⊥平面A′BD，
∴AH⊥平面A′BD，即AH為點A到平面A'BD的距離．
在RT△A′BD中，AA′•AO=AH•A′O，
即4•

2

=

18

h，得h=

4

3

；
故答案是

4

3

．

點評：在解決多面體與球有關接、切問題時，一般做出一個適當截面，將其轉化為平面問題解決．這類截面通常是球的大圓、多面體的對角面等，在這個截面中應包括每個幾何體的主要元素，并且能反映出體與體之間的主要位置關系和數(shù)量關系．