Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

證明：（1）設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線于點(diǎn)、.

         當(dāng)直線的斜率存在時,直線的方程為,此時,直線與拋物線相交于點(diǎn)、.∴=3

         當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,其中k≠0.

當(dāng)得則 ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6.
	y=k(x－3)

         又∵x₁=y, x₂=y,

    ∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

    綜上所述, 命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題.

(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.

   例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時=3,

直線AB的方程為y=(x+1),而T(3,0)不在直線AB上.

說明：由拋物線上的點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)滿足=3,可得y₁y₂=－6.

或y₁y₂=2,如果y₁y₂=－6.,可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y₁y₂=2, 可證得直線AB過點(diǎn)(－1,0),而不過點(diǎn)(3,0).