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        1. (08年衡陽八中理)(12分)如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD.

              (1)求二面角A-PB-D的大小,

              (2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使PC⊥平面ADE?若存在,確定E點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.

           

           

          解析:(1)解法一:聯(lián)結(jié)AC交DB于點(diǎn)O.

                 ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

                 又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

                 ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

                 作OF⊥PB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AF,則AF⊥PB.

                 ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角. …………2分

                 ∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.

                 令PD=AD=2,則在RTABC中,PA=,AB=2.

                 ∴PB=,∴.

                 ∴在RTAOF中,sin,∴.

                 ∴二面角A-PB-D的大小為.      …………6分

           

           

          解法二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

                 聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,取PA中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)DG.

          ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

                 又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

                 ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

                 ∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.

                 ∴AB⊥平面PAD.

                 ∵PD=AD,G為PA中點(diǎn), ∴GD⊥平面PAB.

                 故向量分別是平面PBD與平面PAB

          的法向量.

                 令PD=AD=2,則A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,2,0).

                 ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1).     …………4分

                 ∴向量的夾角余弦為

          ,∴二面角A-PB-D的大小為.             …………6分

           

          (2)解法一: 當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,

          有PC⊥平面ADE.                   …………7分

          證明如下:

                 取PC中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH,DH,則有EH∥BC,

          又BC∥AD,故有EH∥AD.

                 ∴平面ADE即平面ADHE.             …………9分

               ∵PD=DC,H為PC中點(diǎn), ∴PC⊥DH.

          又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

          ∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE.             …………12分

           

          解法二建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

               ∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

            設(shè)E是線段PB上的一點(diǎn),令.

               令PD=AD=2,則P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

          C(0,2,0),

           ∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).

          .

          .    

          …………10分

          2(-)=0,得.

          ∴當(dāng),即點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,有AE⊥PC.

          又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.

          ∴當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時,有PC⊥平面ADE.     …………12分

           

          練習(xí)冊系列答案
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              (1)求s的值及的分布列,

              (2)求的數(shù)學(xué)期望.

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          成等差數(shù)列.

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