Question

【題目】已知函數(shù) ，其中a為常數(shù)，
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，5）上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，

即 對定義域內(nèi)的任意x恒成立，

故 ，即（a2﹣1）x2=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，

故a2﹣1=0，即a=±1…（3分）

當(dāng)a=1時(shí)， 為奇函數(shù)，滿足條件；

當(dāng)a=﹣1時(shí)， 無意義，故不成立．

綜上，a=1

（2）解：若f（x）在（2，5）內(nèi)恒有意義，則當(dāng)x∈（2，5）時(shí)，有 恒成立，

因?yàn)閤＞2，所以x+3＞0，從而ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，

令g（x）=ax﹣3，則

當(dāng)a=0時(shí)，不合題意

當(dāng)a≠0時(shí)， ，解得 ，

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義可求出a的值，經(jīng)討論舍去a=﹣1。（2）根據(jù)題意可得到ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用其x∈（2，5）上恒成立，得到不等式組解得a的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識，掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．