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        1. 己知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
          1
          2
          an+n,n為奇數(shù)
          an-2n,n為偶數(shù)

          (1)求a2,a3;
          (2)設bn=a2n-2,n∈N*,求證{bn} 是等比數(shù)列,并求其通項公式;
          (3)在(2)條件下,求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S.
          分析:(1)直接把n=2,3代入數(shù)列遞推公式即可求出a2,a3;
          (2)由題意可得bn+1=a2n+2-2=
          1
          2
          a2n+1+(2n+1)-2=
          1
          2
          a2n-1=
          1
          2
          bn,然后根據(jù)比數(shù)列來求數(shù)列{bn}的通項公式;
          (3)把數(shù)列{an}中的所有項都用數(shù)列{bn}的通項表示出來,再采用分組求和法求其前100項的和即可.
          解答:解:(Ⅰ)由題意可得,a2=
          1
          2
          a1+1
          =
          1
          2
          ×1+1=
          3
          2
          ,a3=a2-4=-
          5
          2
          ,(4分)
          (Ⅱ)∵
          bn+1
          bn
          =
          a2n+2-2
          a2n-2
          =
          1
          2
          a2n+1+2n+1-2
          a2n-2

          =
          1
          2
          (a2n-4n)+2n-1
          a2n-2
          =
          1
          2
          a2n-1
          a2n-2
          =
          1
          2
              (6分)
          b1=a2-2=-
          1
          2
               (9分)
          ∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且bn=-
          1
          2
          ×(
          1
          2
          )
          n-1
          =-(
          1
          2
          )
          n
           (l0分)
          (Ⅲ)由(Ⅱ)得a2n=bn+2=2-(
          1
          2
          )
          n
          (n=1,2,…50)(12分)
          ∴S=a2+a4+…+a100=2×50-
          1
          2
          (1-
          1
          250
          )
          1-
          1
          2

          =100-1+
          1
          250
          =99+
          1
          250
          (14分)
          點評:題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用以及數(shù)列求和的分組求和法,是對數(shù)列知識的綜合考查,具有一定的綜合性.
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          f(x+1)
          x+1
          -x(x∈(-1,+∞))
          的單調(diào)區(qū)間與極大值;
          (II )任取兩個不等的正數(shù)x1,x2,且x1<x2,若存在x0>0使f′(x0)=
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          成立,求證:x1<x0<x2
          (III)己知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(1+
          1
          2n
          )an+
          1
          n2
          (n∈N+),求證:ane
          11
          4
          (e為自然對數(shù)的底數(shù)).

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          己知數(shù)列{an}滿足a1=-42,an+1+(-1)nan=n,(n∈N*),則數(shù)列{an}的前2013項的和S2013的值是
           

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