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        1. 對于數(shù)列{an},若存在確定的自然數(shù)T>0,使得對任意的自然數(shù)n∈N*,都有:an+T=an成立,則稱數(shù)列{an}是以T為周期的周期數(shù)列.
          (1)記Sn=a1+a2+a3+…+an,若{an}滿足an+2=an+1-an,且S2=1007,S3=2010,求證:數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,并求S2009
          (2)若{an}滿足a1=p∈[0, 
          1
          2
          )
          ,且an+1=-2an2+2an,試判斷{an}是否為周期數(shù)列,且說明理由;
          (3)由(1)得數(shù)列{an},又設數(shù)列{bn},其中bn=an+2n+
          2009
          2n
          ,問是否存在最小的自然數(shù)n(n∈N*),使得對一切自然數(shù)m≥n,都有bm>2009?請說明理由.
          (1)an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
          =-an+3=-an+2+an+1=-(an+1-an)+an+1=an,
          得T=6
          所以,數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,
          周期為任意正整數(shù)--(2分)
          又由 
          an+2=an+1-an
          S2=1007
          S3=2010
          ,
          得a1=2,a2=1005,a3=1003,a4=-2,a5=-1005,a6=-1003S6=0,
          且數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,
          所以,S6n=0,
          所以 S2009=S5=a3=1003--(3分)
          (2)當p=0時,a1=a2=0,an+1=-2an2+2an=0,
          即{an}是周期數(shù)列--(5分)
          當p≠0,p∈(0,
          1
          2
          )
          時,
          an+1=-2
          a2n
          +2an═-2(an-
          1
          2
          )2+
          1
          2
          ∈(0,
          1
          2
          )

          由已知a1=p∈[0, 
          1
          2
          )

          且an+1=-2an2+2an,
          可得a2∈[0,
          1
          2
          )

          依此類推可得a_∈[0,
          1
          2
          )
          (n∈N*
          所以 an+1-an=-2an2+an=an(1-2an)>0,所以an+1>an
          即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,非周期數(shù)列;--(8分)
          (3)由(1)知,S2=a1+a2=a1+1005=1007,
          所以a1=2,a2=1005,a3=1003,a4=-2,a5=-1005,a6=-1003,
          且數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列,
          所以(anmax=1005(n∈N*),(anmin=-1005,
          且 a6n+1=2,a6n+2=1003,a6n+3=1005,a6n+4=-2,
          a6n+5=-1005,a6n+6=-1003,--(9分)
          而當n≥12時,
          2009
          2n
          ∈(0,
          1
          2
          )

          bn=an+2n+
          2009
          2n
          ≥2n-1005+
          2009
          2n
          >2009
          ,
          即2n≥2009+1005=30142n+
          2009
          2n
          ≥1004
          ,
          得n≥1507,即 n≥1507時,
          都有bn>2009;--(12分)
          b1506=a1506+2×1506+
          2009
          21506
          =2009+
          2009
          21506
          >2009
          b1505=a1505+2×1505+
          2009
          21505
          =2007+
          2009
          21506
          <2009
          --(13分)
          綜上,存在最小的自然數(shù)n=1506,
          對一切自然數(shù)m,當m≥n=1506,
          都有bm>2009.--(14分)
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          對于數(shù)列{an},若滿足a1,
          a2
          a1
          ,
          a3
          a2
          ,…,
          an
          an-1
          ,…
          是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則a100等于( 。
          A、2100
          B、299
          C、25050
          D、24950

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=
          log2(1-x),x≤0
          f(x-1)-f(x-2),x>0

          (1)計算:f(-1)、f(0)、f(1)、f(2),并求出f(n+3)與f(n),n∈N*滿足的關系式;
          (2)對于數(shù)列{an},若存在正整數(shù)T,使得an+T=an,則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,T為數(shù)列的周期,令an=f(n) , n∈N*,證明:{an}為周期數(shù)列,指出它的周期T,并求a2012的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2010•重慶一模)對于數(shù)列{an},若存在一個常數(shù)M,使得對任意的n∈N*,都有|an|≤M,則稱{an}為有界數(shù)列.
          (Ⅰ)判斷an=2+sinn是否為有界數(shù)列并說明理由.
          (Ⅱ)是否存在正項等比數(shù)列{an},使得{an}的前n項和Sn構成的數(shù)列{Sn}是有界數(shù)列?若存在,求數(shù)列{an}的公比q的取值范圍;若不存在,請說明理由.
          (Ⅲ)判斷數(shù)列an=
          1
          3
          +
          1
          5
          +
          1
          7
          +…+
          1
          2n-1
          (n≥2)
          是否為有界數(shù)列,并證明.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          對于數(shù)列{an},若存在確定的自然數(shù)T>0,使得對任意的自然數(shù)n∈N*,都有:an+T=an成立,則稱數(shù)列{an}是以T為周期的周期數(shù)列.
          (1)記Sn=a1+a2+a3+…+an,若{an}滿足an+2=an+1-an,且S2=1007,S3=2010,求證:數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,并求S2009;
          (2)若{an}滿足a1=p∈[0, 
          1
          2
          )
          ,且an+1=-2an2+2an,試判斷{an}是否為周期數(shù)列,且說明理由;
          (3)由(1)得數(shù)列{an},又設數(shù)列{bn},其中bn=an+2n+
          2009
          2n
          ,問是否存在最小的自然數(shù)n(n∈N*),使得對一切自然數(shù)m≥n,都有bm>2009?請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)對于數(shù)列{an},若存在常數(shù)T≥0,使得對于任意n∈N*,均有|an|≤T,則稱{an}為有界數(shù)列.以下數(shù)列{an}為有界數(shù)列的是
           
          ;(寫出滿足條件的所有序號)
          ①an=n-2②an=
          1
          n+2
          an
          an+1
          =2,a1=1

          (2)數(shù)列{an}為有界數(shù)列,且滿足an+1=-an2+2an,a1=t(t>0),則實數(shù)t的取值范圍為
           

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