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        1. 數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=λan+2n(n∈N*),其中λ為常數(shù).
          (1)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列?若存在,求出其通項(xiàng)公式;若不存在,說(shuō)明理由;
          (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
          分析:(1)a1=2,a2=2λ+2,a3=λa2+4=2λ2+2λ+4.分兩種情況討論①數(shù)列{an}為等差數(shù)列,得λ2-λ+1=0,由△=12-4=-3<0知方程無(wú)實(shí)根,故不存在實(shí)數(shù)λ,②若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,得2(2λ2+2λ+4)=(2λ+2)2,解得λ=1,an+1=an+2n,解得an=2n,故存在實(shí)數(shù)λ=1,使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
          (2)①當(dāng)λ=1時(shí),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.②當(dāng)λ=2時(shí),構(gòu)造等差數(shù)列{
          an
          2n
          }
          求解,,③當(dāng)λ≠1且λ≠2時(shí),構(gòu)造等比數(shù)列{an+
          2n
          λ-2
          }
          是求解.
          解答:解:(1)a1=2,a2=2λ+2,a3=λa2+4=2λ2+2λ+4.(1分)
          ①若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則a1+a3=2a2,即2+(2λ2+2λ+4)=2(2λ+2),
          得λ2-λ+1=0,由△=12-4=-3<0知方程無(wú)實(shí)根,
          故不存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3分)
          ②若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則a1•a3=a22,即2(2λ2+2λ+4)=(2λ+2)2,
          解得λ=1,此時(shí),an+1=an+2n
          由累加法得:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=2+21+22++2n-1=2n(n≥2),
          顯然,當(dāng)n=1時(shí)也適合,故an=2n(n∈N*).
          故存在實(shí)數(shù)λ=1,使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*).(6分)

          (2)①當(dāng)λ=1時(shí),an=2n(n∈N*),故Sn=
          2(1-2n)
          1-2
          =2n+1-2
          .(7分)
          ②當(dāng)λ=2時(shí),an+1=2an+2n?
          an+1
          2n+1
          =
          an
          2n
          +
          1
          2
          ,即數(shù)列{
          an
          2n
          }
          是首項(xiàng)為1,
          公差為
          1
          2
          的等差數(shù)列,故
          an
          2n
          =1+(n-1)•
          1
          2
          ,即an=(n+1)•2n-1
          下用錯(cuò)位相減法求Sn.Sn=2+3•2+4•22++(n+1)•2n-1,2Sn=2•2+3•22++n•2n-1+(n+1)•2n
          上面兩式相減,得Sn=-2-2-22--2n-1+(n+1)•2n=n•2n.(10分)
          ③當(dāng)λ≠1且λ≠2時(shí),下用待定系數(shù)法求通項(xiàng)an
          令an+1+x•2n+1=λ(an+x•2n),則an+1=λan+(λ-2)x•2n,
          上式與an+1=λan+2n比較系數(shù),得(λ-2)x=1,x=
          1
          λ-2

          故數(shù)列{an+
          2n
          λ-2
          }
          是首項(xiàng)為
          2λ-2
          λ-2
          ,公比為λ的等比數(shù)列,從而an+
          2n
          λ-2
          =
          2λ-2
          λ-2
          λn-1
          ,即an=
          (2λ-2)•λn-1-2n
          λ-2

          因此,Sn=
          (2λ-2)(1+λ+λ2+λn-1)-(2+22+23++2n)
          λ-2
          =
          (2λ-2)•
          1-λn
          1-λ
          -2•
          1-2n
          1-2
          λ-2
          =
          2(λn-2n)
          λ-2

          綜上所述,Sn=
          n•2n(λ=2)
          2(λn-2n)
          λ-2
          (λ≠2)
          .(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題是一道數(shù)列綜合題,情景熟悉,貌似簡(jiǎn)單,入手也不難,但綜合程度之高令人嘆為觀止.無(wú)論是分類討論的思想,還是反證推理、求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和都考查得淋漓盡致,累加法和待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法和分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,幾乎數(shù)列的所有知識(shí)和方法都熔于一爐.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=
          nban-1an-1+n-1
          (n≥2)
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (4)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=
          an-1an-2
          (n≥3)
          ,則a17等于
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知a>0,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+
          1
          an
          ,n=1,2,….

          (I)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=
          lim
          n→∞
          an
          (將A用a表示);
          (II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
          bn
          A(bn+A)
          ;
          (III)若|bn|≤
          1
          2n
          對(duì)n=1,2,…
          都成立,求a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
          12
          an-1+1(n≥2)

          (1)若bn=an-2,求證{bn}為等比數(shù)列;    
          (2)求{an}的通項(xiàng)公式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          數(shù)列{an}滿足a1=
          4
          3
          ,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
          1
          a1
          +
          1
          a2
          +…+
          1
          a2013
          的整數(shù)部分是( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案