Question

【題目】如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，且底面在平面內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，平面，側(cè)棱與底面所成角為45°；

（1）若是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過、兩點(diǎn)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試給出與滿足的關(guān)系式；

（2）若是棱上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面的距離為（），寫出、兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；

（3）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)（），使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線與互相垂直？請(qǐng)說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得出與的關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)和的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)，即可得出函數(shù)的最小值；

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求得，由異面直線與垂直時(shí)，，代入即可求出的值.

（1）由四棱錐是底面邊長為的正方形，則，

可設(shè)與所滿足的關(guān)系式為，將點(diǎn)橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)代入該方程得，

解得，因此，與所滿足的關(guān)系式為；

（2）設(shè)點(diǎn)，，

則.

令，設(shè)，對(duì)稱軸為直線.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在取得最小值，即，

此時(shí).

因此，；

（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則直線與為相交直線，不符；

當(dāng)時(shí)，則當(dāng)取最小值時(shí)，，

當(dāng)異面直線與垂直時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得.

，解得.