Question

【題目】過圓：上一動點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

(1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，所以，.

利用點(diǎn)在圓上可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，

則：，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理弦長公式可得的值，利用點(diǎn)到直線距離公式與勾股定理可得的值，從而可得四邊形的面積 ，換元后，利用單調(diào)性可得結(jié)果.

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，所以，.

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以.

把，代入，得，即，

所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）若直線與軸重合，則直線與軸垂直，則：，：，則，，于是四邊形的面積.

若直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，

則：，

設(shè)，，

聯(lián)立，消去得，

所以，，

則 .

易求得圓心到直線：的距離，

所以 .

令，則，

因?yàn)?/span>，所以.

于是四邊形的面積 ，

所以，所以四邊形面積的取值范圍是.