Question

已知圓C與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線（m＞2，n＞2）與圓C相切，求mn的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設(shè)出圓的方程，利用圓心C到直線y=-x的距離等于．求出圓心坐標(biāo)，得到圓的方程．
（2）根據(jù)直線和圓相切可得 ，化簡(jiǎn)可得 ，再由基本不等式可得 ，解得 ，從而得到 ．
解答：解：（1）因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，圓心在y=x（x＞0），
設(shè)圓C方程為（x-a）²+（y-a）²=a²，圓心C到直線y=-x的距離等于，
所以，a=1．
∴圓C方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
 （2）直線l方程化為為nx+my-mn=0，∵直線l與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，∴，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左邊展開(kāi)，整理得，mn=2m+2n-2．∴．
∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立．
∴，
∴．∵m＞2，n＞2，∴，
∴，此時(shí)m=n=．
mn的最小值為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心的位置；考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，得到 是解題的關(guān)鍵．