Question

若在曲線(xiàn)f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)這條切線(xiàn)為曲線(xiàn)線(xiàn)f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線(xiàn)，下列方程的曲線(xiàn)：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=，存在自公切線(xiàn)的是

1. A.
   ①③
2. B.
   ①④
3. C.
   ②③
4. D.
   ②④

Answer 1

C
分析：通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象，觀(guān)察其圖象是否滿(mǎn)足在其上圖象上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，從而確定是否存在自公切線(xiàn)，從而得到結(jié)論．
解答：x²-y²=1為等軸雙曲線(xiàn)，不存在自公切線(xiàn)，故①不存在；函數(shù)y=3sinx+4cosx的一條自公切線(xiàn)為y=5，故②存在；
函數(shù) y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿(mǎn)足要求，故③存在；對(duì)于方程|x|+1=，其表示的圖形為圖中實(shí)線(xiàn)部分，不滿(mǎn)足要求，故④不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及新定義自公切線(xiàn)，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．