Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的斜率；（4分）

（2）設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)，求證：線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.（6分）

Answer 1

解：（1）由已知，不合題意.設(shè)直線的方程為，

由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，                          …………………1分

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，             …………………2分

解得，所以直線的斜率為 .                     …………………4分

（2）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

因?yàn)?sub>不垂直于軸，則直線的斜率為，直線的斜率為，

直線的方程為，                      …………………5分

聯(lián)立方程

消去得，                …………………7分

所以，                                       …………………8分

因?yàn)?sub>為中點(diǎn)，所以，即，        …………………9分

所以.即線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.                …………………10分