Question

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且與圓心為的定圓相切.直線：（）與圓交于兩點(diǎn)，.求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和離心率的定義即可求出橢圓C的方程，（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程為y=kx+m，根據(jù)韋達(dá)定理，可得5m2=k2+1，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式分別求出|MN|=2，G到直線l′的距離為，結(jié)合三角形的面積公式和基本不等式即可求出答案.

解析：

（1）因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，

又橢圓的離心率為，所以

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)設(shè)，的方程為

由，得，

所以

因?yàn)?/span>，

所以

整理得，

所以到的距離為，

所以直線恒與定圓相切，即圓的方程為

又到的距離為，所以，且，所以，

因?yàn)?/span>到的距離為，

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”

所以面積的最大值為.