Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且，線段的中垂線與線段交于點(diǎn)P．

求的值，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

若直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)其中A，B，D不共線，使得，證明：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

由中垂線性質(zhì)可知，根據(jù)橢圓性質(zhì)得出P點(diǎn)軌跡方程；

設(shè)，，直線l方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)系式，由可知，根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)即可得出m，n的關(guān)系，從而得出直線l的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解：由已知，，，

依題意有：，

，

故點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即，，，

故點(diǎn)P的軌跡E的方程為．

令，，

因A，B，D不共線，故l的斜率不為0，

令l的方程為：，則由得，

，

則，，

，，

即，整理得，

而，代入得：

，

把代入得：，

當(dāng)時(shí)，得：，

此時(shí)l的方程為：，過定點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，亦滿足，此時(shí)l的方程為：．

綜上所述，直線l恒過定點(diǎn)．